Родился 5 июня 1919 года в деревне Митяево Можайского уезда Московской губернии. После окончания семилетки в московской школе № 7 работал электриком, затем шофером, занимался в Дзержинском аэроклубе столицы.

В 1939 году был направлен в Борисоглебскую военную авиационную школу.

Боевое крещение младший лейтенант Грачев получил в октябре 1941 года на Западном фронте, в составе 438-го истребительного авиационного полка.

В его боевой характеристике записано: «Грачев проявлял постоянное стремление к бою с воздушным противником.

Он всегда искал врага и неотступно преследовал его, чтобы с короткой дистанции уничтожить…

» 8 июля 1942 года, находясь на боевом дежурстве в воздухе в районе Буды-Монастырской, младший лейтенант Грачев в паре с сержантом М. Гудковым атаковал группу немецких бомбардировщиков и 3 из них сбил…

В начале 1943 года был назначен командиром эскадрильи 272-го истребительного авиационного полка.

Сражался под Курском, освобождал Белоруссию и Польшу.

Капитан Грачев провел 270 боевых вылетов, 70 воздушных боев, лично сбил 23 и в группе — 6 самолетов противника.

Служил в ВВС до 1953 года.

Летал на реактивных боевых машинах.

Жил и работал в Москве.

А. А. Грачев умер 26 апреля 1996 года.

Герой Советского Союза (04.02.1944).

Награжден орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденом Александра Невского, двумя орденами Отечественной войны 1-й степени, орденом Красной Звезды, орденом «Знак Почета», медалями.