Родился 15 августа 1914 года в селе Перелоги Юрьев-Польского уезда Владимирской губернии. Окончил сельскую школу, ФЗУ во Владимире, школу гражданской авиации в Тамбове и курсы усовершенствования командного состава в 1938 году.

Работал инструктором во Владимирском и Кольчугинском аэроклубах, в 1941 году окончил Остафьевскую военную авиационную школу.

Первую победу одержал в феврале 1942 года, а через 10 дней под Гжатском сбил 2 «Мессершмитта».

5 июля 1943 года, в первый день сражения на Курской дуге, сбил 2 «Юнкерса».

В этом бою летчик был ранен в ногу и руку, но посадил машину на свой аэродром.

Маковский, его ведомый и два штурмовика на станции Верховцево взорвали железнодорожный состав со снарядами — в результате сгорело 13 (!) немецких эшелонов.

За войну гвардии майор Максимов совершил 444 боевых вылета, в 68 воздушных боях сбил 22 самолета противника.

В 1955 году окончил Высшие летно-тактические курсы усовершенствования офицерского состава.

Командовал дивизией.

В 1961 году генерал-майор авиации Максимов ушел в отставку.

Жил и работал в Ярославле.

А. Е. Максимов умер 23 марта 1984 года.

Герой Советского Союза (10.04.1945).

Награжден орденом Ленина, тремя орденами Красного Знамени, орденами Александра Невского, Отечественной войны 1-й степени, двумя орденами Красной Звезды, медалями.